profConradi.github.io/simulare-il-secondo-principio-della-termodinamica-parte-1-soldi.html at main · arb85/profConradi.github.io · GitHub

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        <title>Simulare il secondo principio della termodinamica (parte 1: soldi)</title>
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      <h1 class="entry-title">
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        <abbr class="published" title="2023-09-20T00:00:00+02:00">
                Published: Mer 20 Settembre 2023
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        <abbr class="modified" title="2023-09-20T00:00:00+02:00">
                Updated: Mer 20 Settembre 2023
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        <address class="vcard author">
                By                         <a class="url fn" href="/author/simone-conradi.html">Simone Conradi</a>
        </address>
<p>In <a href="/category/fisica.html">Fisica</a>.</p>
<p>tags: <a href="/tag/fisica.html">fisica</a> <a href="/tag/python.html">python</a> </p>
</footer><!-- /.post-info -->      <h1>Persone e denaro</h1>
<p>Ipotizziamo un esperimento sociale un poco assurdo: in una nazione lo stato ha distribuito a tutti i suoi cittadini la stessa quantità di denaro. Prima di questa distribuzione nessun cittadino possedeva denaro, dopo di essa cascuno cittadino si è ritrovato in tasca <strong>1 Kinetic</strong>. A tutti i cittadini è vietato scambiare denaro con abitanti di altre nazioni, ma sono possibili scambi di denaro interni secondo uno schema ben preciso illustrato di seguito.</p>
<p>Ogni volta che due cittadini si incontrano, mettono in comune tutto il loro denaro e dividono il gruzzolo in due parti perfettamente a caso. Regolarmente avvengono moltissimi incontri e quindi scambi di denaro.</p>
<p>Traduciamo in formule questa operazione di suddivisione del denaro durante un incontro tra due persone. Definiamo le seguenti grandezze:</p>
<ul>
<li><span class="math">\(e_1\)</span> è il denaro posseduto dal primo cittadino prima dell'incontro;</li>
<li><span class="math">\(e_2\)</span> è il denaro posseduto dal secondo cittadino prima dell'incontro;</li>
<li><span class="math">\(e_1'\)</span> è il denaro posseduto dal primo cittadino dopo l'incontro;</li>
<li><span class="math">\(e_2'\)</span> è il denaro posseduto dal secondo cittadino dopo l'incontro.</li>
</ul>
<p>Visto che non si perde denaro è chiaro che <span class="math">\(e_1+e_2=e_1'+e_2'\)</span>. Queste due somme equivalgono all'ammontare del gruzzolo di cui sopra. Per dividerlo in due parti a caso sorteggiamo un numero reale <span class="math">\(x\)</span> compreso tra 0 e 1. Il valore di <span class="math">\(x\)</span> è sorteggiato da una opportuna distribuzione di probabilità <span class="math">\(p(x)\)</span> decisa dal governo della nazione.
Quindi possiamo affermare che le due persone dopo lo scambio si ritrovano in tasca rispettivamente:</p>
<ul>
<li><span class="math">\(e_1'=x (e_1+e_2)\)</span>;</li>
<li><span class="math">\(e_2'=(1-x) (e_1+e_2)\)</span></li>
</ul>
<p>Affinchè lo scambio di denaro sia in media equo, la distribuzione di probabilità <span class="math">\(p(x)\)</span> deve essere simmetrica rispetto all'asse <span class="math">\(x=\frac{1}{2}\)</span>.</p>
<p>A questo punto la domanda è: <strong>come evolve la distribuzione della ricchezza dei cittadini di questa ipotetica e fantasiosa nazione?</strong></p>
<p>Proviamo a rispondere simulando questa ipotetica economia al calcolatore, precisamente mediante un <a href="1">modello ad agenti</a>. Scopriremo che la risposta alla domanda dipende  dalla funzione <span class="math">\(p(x)\)</span> introdotta sopra.</p>
<p>Prima di procedere facciamo ancora una riflessione sulla distribuzione di denaro nella nazione. Immediadamente dopo la distribuzione iniziale del denaro tutti i cittadini possiedono <strong>1 Kinetic</strong>: questa situazione è estremamente ordinata. Esiste un solo modo possibile di realizzarla ed è quello in cui ogni persona possiede <strong>1 Kinetic</strong>. Spiegamo meglio come contare i modi di realizzare una distribuzione di denaro con un secondo esempio un poco più disordinato del primo: tutti i cittadini possiedono <strong>1 Kinetic</strong> tranne una persona che possiede <strong>2 Kinetic</strong>. Se i cittadini sono <span class="math">\(N\)</span> in totale, questa situazione è realizzabile in N modi perché ho <span class="math">\(N\)</span> possibilità diverse di estrarre il cittadino fortunato con in tasca <strong>2 Kinetic</strong>. Possiamo andare oltre e generalizzare questo calcolo, ma lasciamo quest'onere alla simulazione.
È utile contare i modi in cui è possibile realizzare una determinata distribuzione di ricchezza? Si, perché consente di calcolare l'entropia della distribuzione: se <span class="math">\(W\)</span> è il numero di modi di generare la distribuzione, l'entropia <span class="math">\(S\)</span> vale:</p>
<p><span class="math">\(S=k \log(W)\)</span></p>
<p>secondo la definizione statistica di entropia data da Boltzman. Porremo <span class="math">\(k = 1\)</span> e tratteremo l'entropia come grandezza adimensionale.</p>
<h2>La simulazione</h2>
<blockquote>
<p>“A simulation is the answer to the question, “What if…?”</p>
<p><em>Richard W. Hamming</em></p>
</blockquote>
<p>Il codice della simulazione è disponibile sul mio <a href="https://github.com/profConradi/Python_Simulations/blob/main/Statistical_Approach_2nd_law.ipynb">repository Github</a>.
Consideriamo diverse distribuzioni di probabiltà <span class="math">\(p(x)\)</span>. Utilizziamo il parametro <span class="math">\(d\)</span> intero (<span class="math">\(d\ge 2\)</span>) per parametrizzare la famiglia di funzioni  <span class="math">\(p(x)\)</span> nel modo seguente:</p>
<p><span class="math">\(p_d(x) = (x-x^2)^{\frac{d-2}{2}}\)</span></p>
<p>Torneremo sulla forma di queste funzioni più avanti.
Ogni simulazione coinvolge 5000 persone e dura 20000 passi elementari: a ogni passo due cittadini a caso si incontrano, mettono sul tavolo tutto il denaro in loro possesso e se lo ridistribuiscono secondo le proporzioni <span class="math">\(x\)</span> e <span class="math">\(1-x\)</span>. <span class="math">\(x\)</span> è stato estratto a caso secondo la distribuzione di probabilità <span class="math">\(p_d(x)\)</span>. Su come estrarre un numero a caso secondo una distribuzione di probabilità data scriverò un articoletto prossimamente.</p>
<p>Vediamo che succede per i primi valori di <span class="math">\(d\)</span>. Il grafico seguente rappresenta la situazione per i 4 casi <span class="math">\(d=2, 3, 4, 5\)</span> e riporta:</p>
<ul>
<li>la funzione <span class="math">\(p_d(x)\)</span>;</li>
<li>la distribuzione della ricchezza dopo 20000 passi.</li>
</ul>
<p><img src="/images/prob_vs_d.png" width="800" height="800" /></p>
<p>Nel caso <span class="math">\(d=2\)</span> tutti i valori di <span class="math">\(x\)</span> tra 0 e 1 sono equiprobabili e chi possiede poco o nulla costituisce la maggioranza della popolazione.
All'aumentare di <span class="math">\(d\)</span> la distrubuzione di probabilità <span class="math">\(p_d(x)\)</span> tende a sfavorire sempre più gli scambi di denaro del tipo tutto o niente e di conseguenza i nullatenenti diminuiscono.</p>
<p>Ma cosa c'entra tutto questo con il secondo principio della termodinamica? Perché abbiamo scelto quella particolare forma analitica per la funzione <span class="math">\(p_d(x)\)</span>?
Risponderemo a queste domande nel prossimo articolo. Intanto ecco due video delle simulazioni per <span class="math">\(d=2\)</span> e <span class="math">\(d=3\)</span>.</p>
<h4>Caso <span class="math">\(d=2\)</span></h4>
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<h4>Caso <span class="math">\(d=3\)</span></h4>
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<source src="/videos/2nd_law_maxwell-boltzman.mp4" type='video/mp4'>
</video>

<h2>Riferimenti</h2>
<ol>
<li><a href="https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/18/5/002/meta">A statistical approach to the second law of thermodynamics using a computer simulation, L. Bellomonte and R. M. Sperandeo-Mineo.</a></li>
</ol>
<p><strong>Copyright 2023 by Simone Conradi and licensed under a <a rel="license"
  href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">
  <img alt="Creative Commons License" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/80x15.png" />
  Creative Commons Attribution 4.0 International License</a>.</strong></p>
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