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header	Kapitel 1: Einführung (2025-12-05)
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Kapitel 1: Systemsimulation und den Digitalen Zwilling

Dieses Kapitel umfasst das Folgende:

• 1.1: Motivation
• 1.2: Arten von Modellen
• 1.3: Lösungsmethoden
• 1.4: Visualisierung von Simulationsdaten
• 1.5: Der Digitale Zwilling
• 1.6: Simulation & Digitaler Zwilling

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1.1: Motivation

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Definition von Modell und Simulation
• Praktische Anwendungsbeispiele aus verschiedenen Ingenieursdisziplinen
• Den Nutzen der Simulation zur Kostenreduktion, Risikominimierung und Optimierung

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Was ist ein Modell?

Ein Modell ist eine vereinfachte, abstrakte Darstellung eines realen Systems oder Prozesses.

"All models are wrong, but some are useful." -- George E. P. Box

Es erfasst die wesentlichen Aspekte, die für eine bestimmte Fragestellung relevant sind, und vernachlässigt unwesentliche Details.

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Was ist eine Simulation?

Eine Simulation ist das Durchführen von Experimenten mit einem Modell.

• Das Modell wird mit Eingabedaten (Parametern) versehen.
• Das Verhalten des Modells über die Zeit oder unter bestimmten Bedingungen wird berechnet.
• Die Ergebnisse werden analysiert, um Rückschlüsse auf das reale System zu ziehen.

Simulation ermöglicht es uns, "Was-wäre-wenn"-Szenarien zu untersuchen.

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Praktische Fragestellungen

Mithilfe von Modellen und Simulationen können wir komplexe Fragen beantworten, bevor wir reale Systeme bauen oder verändern.

Maschinenbau

• Wie verhält sich eine Brücke unter Last?
• Wie kann der Energieverbrauch eines Roboters optimiert werden?
• Wie müssen die Komponenten eines Motors dimensioniert sein?

Produktion & Logistik

• Was ist der optimale Materialfluss in einer Fabrik?
• Wie viele fahrerlose Transportfahrzeuge (AGVs) werden benötigt?
• Wie wirkt sich ein Maschinenausfall auf die Gesamtproduktion aus?

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Praktische Fragestellungen

Verfahrenstechnik

• Wie verteilt sich die Temperatur in einem Reaktor?
• Wie kann der Schadstoffausstoß eines Kraftwerks minimiert werden?

Elektrotechnik

• Wie verhält sich eine Schaltung bei Spannungs-schwankungen?
• Wie ist das Abstrahlverhalten einer Antenne?

Informatik

• Wie ist die Antwortzeit eines Servers unter Last?
• Wie trainiert man ein autonomes Fahrzeug sicher?

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Nutzen der Simulation

• Kostenreduktion: Virtuelle Tests sind günstiger als reale Prototypen.
• Risikominimierung: Gefährliche Szenarien können sicher getestet werden.
• Machbarkeitsanalyse: Ideen können frühzeitig auf ihre Umsetzbarkeit geprüft werden.
• Optimierung: Bestehende Systeme können verbessert werden (z.B. Durchsatz, Energieeffizienz).
• Verständnisgewinn: Komplexe Zusammenhänge werden sichtbar und verständlich.
• Training: Bediener oder KI-Systeme können in einer sicheren Umgebung trainiert werden.

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1.2: Arten von Modellen

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Klassifikation nach Zeitabhängigkeit (statisch vs. dynamisch)
• Klassifikation nach Zustandsänderung (kontinuierlich vs. diskret)
• Klassifikation nach Zufälligkeit (deterministisch vs. stochastisch)

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Klassifikation von Modellen

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden:

• Statisch
• Dynamisch
  • Kontinuierlich
  • Diskret
    • Zeit
    • Ereignis
  • Hybrid

Die Wahl des Modelltyps hängt von der Problemstellung und dem zu untersuch-enden System ab.

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Statische vs. Dynamische Modelle

Statische Modelle

• Beschreiben den Zustand eines Systems in einem einzigen Augenblick (im Gleichgewicht).
• Sind zeitunabhängig.
• Typische Fragestellung: Wie verformt sich ein Bauteil unter einer konstanten Last?
• Mathematisch: Oft algebraische Gleichungen (z.B. lineares Gleichungssystem).
• Beispiel: Statik eines Fachwerks.

Dynamische Modelle

• Beschreiben das Verhalten eines Systems über die Zeit.
• Sind zeitabhängig.
• Typische Fragestellung: Wie schwingt ein Pendel nach dem Anstoßen?
• Mathematisch: Oft Differentialgleichungen (kontinuierlich) oder Zustandsautomaten (diskret).
• Beispiel: Flugbahn eines Balls.

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Kontinuierliche vs. Diskrete Modelle

Diese Unterscheidung ist vor allem bei dynamischen Modellen relevant.

Kontinuierliche Modelle

• Die Zustandsgrößen (z.B. Position, Temperatur) können sich zu jedem beliebigen Zeitpunkt ändern.
• Die Zustandsgrößen nehmen Werte aus einem kontinuierlichen Bereich an.
• Mathematisch: Differentialgleichungen (DGLs).
• Beispiel: Füllstand eines Wassertanks, Schwingung eines Federpendels.

Diskrete Modelle

• Die Zustandsgrößen ändern sich nur zu bestimmten, einzelnen Zeitpunkten.
• Die Zustandsgrößen nehmen oft Werte aus einem diskreten Bereich an.
• Mathematisch: Differenzengleichungen, Ereignislisten.
• Beispiel: Warteschlange an einer Kasse, Produktionsablauf.

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Kontinuierliche vs. Diskrete Modelle

Kontinuierliche Modelle

Diskrete Modelle

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Zeitdiskrete vs. Ereignisdiskrete Modelle

Diskrete Modelle können weiter unterteilt werden:

Zeitdiskret (konstanter Zeitschritt)

• Zustandsänderungen erfolgen in festen, äquidistanten Zeitintervallen ($\Delta t$).
• Typisch für digitale Regelungen oder wenn ein kontinuierliches System abgetastet wird.
• Beispiel: Abtastung eines analogen Signals mit einem A/D-Wandler.

Ereignisdiskret

• Zustandsänderungen werden durch das Eintreten von Ereignissen (Events) ausgelöst.
• Die Zeit schreitet von einem Ereignis zum nächsten.
• Beispiel: Ankunft eines Kunden in einer Warteschlange, Fertigstellung eines Teils auf einer Maschine.

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Zeitdiskrete vs. Ereignisdiskrete Modelle

Zeitdiskret (konstanter Zeitschritt)

Ereignisdiskret

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Deterministische vs. Stochastische Modelle

Deterministische Modelle

• Der Ablauf der Simulation ist bei gleichen Anfangsbedingungen und Parametern immer identisch.
• Es gibt keine Zufallseinflüsse.
• Beispiel: Berechnung der Planetenbahnen, ideales Federpendel ohne Reibung.

Stochastische Modelle

• Enthalten zufällige Elemente. Jede Simulation liefert ein anderes (aber statistisch ähnliches) Ergebnis.
• Werden verwendet, wenn Prozesse nicht exakt vorhersagbar sind.
• Erfordern oft mehrere Simulationsläufe (Monte-Carlo-Simulation), um statistische Aussagen treffen zu können.
• Beispiel: Simulation einer Warteschlange mit zufälligen Ankunftszeiten, Simulation von Aktienkursen.

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Deterministische vs. Stochastische Modelle

Deterministische Modelle

Stochastische Modelle

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1.3: Lösungsmethoden

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Den Unterschied zwischen analytischen (exakten) und numerischen (approximativen) Lösungen
• Vor- und Nachteile der jeweiligen Methode
• Die Relevanz numerischer Methoden für die Praxis

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Wie lösen wir die Modellgleichungen?

Sobald das mathematische Modell aufgestellt ist (z.B. als Satz von Differentialgleichungen), muss es gelöst werden, um das Systemverhalten zu berechnen.

Es gibt zwei grundlegende Ansätze:

1. Analytische Lösung
2. Numerische Lösung

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Analytische Lösung

• Was ist das? Eine exakte, geschlossene mathematische Formel für die Lösung.
• Beispiel (freier Fall): Die Höhe $y(t)$ eines Objekts zum Zeitpunkt $t$ ist $y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$.
• Vorteile:
  • Exakt und präzise.
  • Liefert allgemeines Verständnis über den Einfluss von Parametern.
• Nachteile:
  • Nur für relativ einfache, oft lineare Systeme möglich.
  • Sobald Komplexität steigt (z.B. Luftwiderstand, nichtlineare Kräfte), oft nicht mehr findbar.

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Numerische Lösung

• Was ist das? Eine schrittweise, approximative Berechnung der Lösung.
• Beispiel (Euler-Verfahren für $y' = f(t, y)$): $y_{k+1} = y_k + \Delta t \cdot f(t_k, y_k)$
• Man startet bei einem bekannten Zustand und berechnet den nächsten Zustand in einem kleinen Zeitschritt $\Delta t$.
• Vorteile:
  • Auf sehr komplexe, nichtlineare Systeme anwendbar.
  • Flexibel und universell einsetzbar.
• Nachteile:
  • Ist immer eine Annäherung (Approximation).
  • Führt numerische Fehler ein (Diskretisierungsfehler, Rundungsfehler).
  • Die Wahl des Algorithmus und der Parameter (z.B. Schrittweite $\Delta t$) ist entscheidend für Genauigkeit und Stabilität.

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Analytisch vs. Numerisch: Ein Beispiel

Problem: Schiefer Wurf

Analytische Lösung (ohne Luftwiderstand)

• Einfache Parabelbahn.
• Formeln für Wurfweite, Wurfhöhe, Flugdauer etc. können direkt hergeleitet werden.
• $x(t) = v_0 \cos(\alpha) t$
• $y(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{1}{2} g t^2$

Numerische Lösung (mit Luftwiderstand)

• Luftwiderstand $F_R \propto v^2$ macht die DGL nichtlinear.
• Keine einfache geschlossene Formel mehr.
• Lösung durch schrittweise Berechnung von Position und Geschwindigkeit unter Berücksichtigung von Schwerkraft und Luftwiderstand.

Fast alle praxisrelevanten Simulationen basieren auf numerischen Methoden.

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1.4: Visualisierung von Simulationsdaten

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Die Notwendigkeit der Visualisierung zum Verstehen und Kommunizieren von Ergebnissen
• Verschiedene Arten der Darstellung: 2D-Plots, 2D- und 3D-Szenen
• Einen kurzen Einblick in die Funktionsweise der Grafik-Pipeline und OpenGL

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Warum Visualisierung?

Simulationsläufe produzieren riesige Datenmengen (Zustände, Zeitreihen, ...).

"Ein Bild sagt mehr als tausend Zahlen."

Visualisierung ist essenziell, um:

• Ergebnisse verständlich zu machen: Muster und Trends erkennen, die in reinen Zahlenkolonnen verborgen sind.
• Modelle zu validieren: Passt das simulierte Verhalten zu den Erwartungen? Gibt es unerwartete Effekte?
• Ergebnisse zu kommunizieren: Einem breiteren Publikum (z.B. Management, Kunden) die Erkenntnisse präsentieren.
• Interaktiv zu explorieren: Parameter ändern und die Auswirkungen sofort visuell sehen.

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Von einfachen Diagrammen zu komplexen Szenen

1. Einfache Diagramme (Plots)

• Darstellung von einer Größe über einer anderen (oft über die Zeit).
• z.B. Temperaturverlauf, Position vs. Zeit.
• Bibliotheken: ScottPlot, OxyPlot.

2. 2D-Visualisierungen

• Darstellung von räumlichen Daten in einer Ebene.
• Oft Vektorgrafiken.
• z.B. Plan einer Fabrikhalle, Verformung eines 2D-Fachwerks, Strömungsfeld.
• Technologie: WPF Canvas.

3. 3D-Visualisierungen

• Darstellung von räumlichen Daten in einer dreidimensionalen Szene.
• z.B. 3D-Modell eines Roboters, Visualisierung eines Gebäudes, Molekülstrukturen.
• Technologie: SharpGL, Helix Toolkit.

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2D-Visualisierung

• Basiert auf dem Zeichnen von geometrischen Primitiven (Linien, Kreise, Polygone) in einem 2D-Koordinatensystem.
• Transformationen sind notwendig, um von "Weltkoordinaten" (z.B. Meter) zu "Bildschirmkoordinaten" (z.B. Pixel) zu kommen.
  • Skalierung: Vergrößern/Verkleinern
  • Translation: Verschieben
  • Rotation: Drehen

// Beispiel: Zeichnen einer Linie
// in 2D mit WPF Canvas

var line = new Line
{
    X1 = worldToScreenX(0.0),
    Y1 = worldToScreenY(0.0),
    X2 = worldToScreenX(1.0),
    Y2 = worldToScreenY(2.5),
    Stroke = Brushes.Red,
    StrokeThickness = 2
};

myCanvas.Children.Add(line);

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3D-Visualisierung

• Deutlich komplexer als 2D.
• Eine 3D-Szene besteht aus:
  • Objekten: Definierte durch Vertices (Eckpunkte) und Flächen (Polygone, meist Dreiecke).
  • Materialien: Wie reflektiert das Objekt Licht? (Farbe, Textur, Glanz)
  • Lichtquellen: Ohne Licht ist alles schwarz.
  • Kamera: Definiert den Blickpunkt, die Blickrichtung und das Sichtfeld.

// Beispiel: Zeichnen einer Linie
// in 3D mit SharpGL/OpenGL

var gl = openGLControl.OpenGL;

gl.Begin(OpenGL.GL_LINES);

// Startpunkt der Linie
gl.Color(1.0f, 0.0f, 0.0f); // Rot
gl.Vertex(0.0f, 0.0f, 0.0f);

// Endpunkt der Linie
gl.Color(0.0f, 1.0f, 0.0f); // Grün
gl.Vertex(1.0f, 1.0f, 1.0f);

gl.End();

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Schnittstelle zur Grafikkarte: OpenGL

• OpenGL (Open Graphics Library) ist eine plattform- und programmiersprachenübergreifende API zur Entwicklung von 2D- und 3D-Grafikanwendungen.
• Sie stellt einen standardisierten Weg bereit, um mit dem Grafikprozessor (GPU) zu kommunizieren.
• Die Anwendung sendet Befehle an die GPU (z.B. "zeichne dieses Dreieck mit dieser Farbe"), und die GPU führt diese hochgradig parallel und extrem schnell aus.
• Bibliotheken wie SharpGL sind "Wrapper" um OpenGL, die die Nutzung in C# vereinfachen.

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Die Grafik-Pipeline (vereinfacht)

Der Weg von der 3D-Szene zum 2D-Bild auf dem Monitor.

1. Vertex Processing: Die 3D-Koordinaten der Eckpunkte (Vertices) werden in 2D-Bildschirmkoordinaten umgerechnet (Projektion).
2. Rasterization: Die Dreiecke werden in "Fragmente" zerlegt. Ein Fragment ist ein Kandidat für ein Pixel auf dem Bildschirm.
3. Fragment Processing: Für jedes Fragment wird die endgültige Farbe berechnet (unter Berücksichtigung von Texturen, Beleuchtung etc.).
4. Testing & Blending: Das Fragment wird auf den Bildschirm geschrieben (z.B. Z-Buffer-Test, um verdeckte Objekte zu entfernen).

Moderne GPUs erlauben es, die Schritte 1 und 3 mit eigenen kleinen Programmen, den Shadern, zu steuern.

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1.5: Der Digitale Zwilling

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Das Konzept des Digitalen Zwillings nach Michael Grieves
• Die drei Kernkomponenten: physisches Produkt, virtuelles Produkt und Datenverbindung
• Die Abgrenzung von reinen 3D-Modellen

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Was ist ein Digitaler Zwilling?

Der Begriff wurde maßgeblich von Dr. Michael Grieves (University of Michigan) geprägt.

Ein Digitaler Zwilling ist ein virtuelles Modell, das als digitales Gegenstück zu einem physischen Objekt, Prozess oder System dient.

Es besteht aus drei Kernkomponenten:

1. Ein physisches Produkt in der realen Welt.
2. Ein virtuelles Produkt in der virtuellen Welt.
3. Eine Datenverbindung zwischen dem physischen und dem virtuellen Produkt.

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Das Konzept von Grieves

• Physischer Raum: Hier existiert das reale Objekt (z.B. eine Windkraftanlage, ein Auto, eine Fertigungsstraße). Sensoren erfassen kontinuierlich Daten über seinen Zustand (z.B. Temperatur, Drehzahl, Position).

• Virtueller Raum: Hier existiert das digitale Modell. Es ist eine hochgenaue, multidisziplinäre Repräsentation des physischen Objekts.

• Datenverbindung: Der entscheidende Link.

  • Daten fließen vom physischen zum virtuellen Objekt ("Digital Twin Instance").
  • Erkenntnisse, Befehle oder Updates fließen vom virtuellen zum physischen Objekt.

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Mehr als nur ein 3D-Modell

Ein Digitaler Zwilling ist nicht nur ein CAD-Modell oder eine 3D-Visualisierung:

• Geometrie: 3D-Struktur.
• Physik: Verhalten unter Last, thermische Eigenschaften, etc. (-> Simulations-modelle!)
• Daten: Live-Daten von Sensoren, historische Daten, Wartungsprotokolle.
• Logik: Steuerungssoftware, Produktionsregeln.

Ein Digitaler Zwilling "lebt" und entwickelt sich mit seinem physischen Gegenstück über dessen gesamten Lebenszyklus.

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1.6: Simulation & Digitaler Zwilling

Dieser Abschnitt beinhaltet das Folgende:

• Die Rolle der Simulation als Kerntechnologie des Digitalen Zwillings
• Die Anwendung über den gesamten Produktlebenszyklus
• Das Praxisbeispiel der virtuellen Inbetriebnahme

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Wo passt die Simulation hinein?

Simulation ist die Kerntechnologie, die den Digitalen Zwilling zum Leben erweckt.

• Das Verhaltensmodell im virtuellen Raum ist ein Simulationsmodell.
• Es ermöglicht dem Digitalen Zwilling, nicht nur den aktuellen Zustand darzustellen, sondern auch:
  • das zukünftige Verhalten vorherzusagen ("Was passiert, wenn die Last um 10% steigt?").
  • optimale Betriebsparameter zu finden ("Was ist die energieeffizienteste Geschwindigkeit?").
  • Fehler zu diagnostizieren und deren Ursachen zu finden.
  • Wartungsbedarf vorausschauend zu planen (Predictive Maintenance).

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Der Lebenszyklus

Simulation spielt in jeder Phase des Produktlebenszyklus eine Rolle, die durch den Digitalen Zwilling verbunden werden.

1. Design & Entwicklung

• Simulation zur Auslegung und Validierung des Produkts.
• Das Ergebnis ist der "digitale Prototyp" oder "Digital Twin Prototype".

2. Produktion & Inbetriebnahme

• Simulation zur Planung der Fertigung.
• Virtuelle Inbetriebnahme: Test der Steuerungssoftware am digitalen Modell, bevor die reale Anlage existiert.

3. Betrieb & Wartung

• Der "Digital Twin Instance" läuft parallel zum realen Produkt.
• Live-Sensordaten kalibrieren das Simulationsmodell.
• Simulationen sagen Verhalten voraus und optimieren den Betrieb.

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Beispiel: Virtuelle Inbetriebnahme

Traditioneller Ansatz

1. Mechanik und Elektrik aufbauen.
2. Software-Entwickler kommen zur Baustelle.
3. Software wird an der realen, teuren und potenziell gefährlichen Anlage getestet und in Betrieb genommen.
4. Fehlerbehebung ist zeitaufwändig und teuer.

Ansatz mit Digitalem Zwilling

1. Parallel zum Aufbau der Mechanik wird ein kinematisches Simulationsmodell (Digitaler Zwilling) erstellt.
2. Software-Entwickler testen die SPS- oder Roboter-Software im Büro gegen das Modell.
3. 90% der Logikfehler werden gefunden, bevor die reale Anlage überhaupt existiert.
4. Deutlich kürzere und sicherere Inbetriebnahmezeit vor Ort.

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Zusammenfassung Kapitel 1

• Modelle sind vereinfachte Abbilder der Realität für einen bestimmten Zweck.
• Simulation ist das Experimentieren mit diesen Modellen.
• Modelle können statisch/dynamisch, kontinuierlich/diskret und deterministisch/stochastisch sein.
• Numerische Methoden sind der Schlüssel zur Lösung komplexer, realitätsnaher Modelle.
• Visualisierung ist entscheidend, um Simulationsergebnisse zu verstehen und zu kommunizieren.
• Ein Digitaler Zwilling ist ein virtuelles Abbild eines physischen Objekts, das über dessen Lebenszyklus durch Daten mit ihm verbunden ist.
• Simulation ist die treibende Kraft, die es dem Digitalen Zwilling ermöglicht, Verhalten zu analysieren und vorherzusagen.

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Ausblick

In den nächsten Kapiteln werden wir uns die verschiedenen Modellarten im Detail ansehen und lernen, wie man sie praktisch umsetzt.

• Statische Modelle 2D: Analyse von 2D-Fachwerken und 2D-Visualisierung (WPF Canvas).
• Statische Modelle 3D: Analyse von 3D-Fachwerken und 3D-Visualisierung (SharpGL).
• Dynamische, kontinuierliche Modelle: Simulation von Bewegungsgleichungen (z.B. Federpendel).
• Dynamische, diskrete Modelle: Simulation von Warteschlangen und Produktionssystemen.
• Dynamische, hybride Modelle: Simulation von Kollisionen und digitalen Sensoren.

Wir werden für jedes Beispiel die Mathematik, die numerische Lösung und die programmtechnische Umsetzung inklusive Visualisierung betrachten.